Calculus Of Variations

释义 Definition

变分法（或变分学）：研究如何在“函数的集合”中寻找使某个泛函（functional，即“以函数为输入的量”）取得极大/极小值的方法与理论。常用于最优化、物理中的最小作用量原理、几何与工程等。

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈkælkjələs əv ˌvɛriˈeɪʃənz/

例句 Examples

She is studying the calculus of variations this semester.
她这学期在学变分法。

The calculus of variations provides tools to derive the Euler–Lagrange equation, which helps find the curve that minimizes a given functional.
变分法提供推导欧拉—拉格朗日方程的工具，用来寻找使某个泛函最小的曲线。

词源 Etymology

calculus 源自拉丁语，原意与“用来计数的小石子”有关，后来引申为“计算方法/微积分”；variations 来自拉丁语 variatio（变化）。作为一个数学分支，“calculus of variations”在 17–18 世纪逐步成形，与寻找“最优曲线/最优形状”的问题密切相关（如最速降线问题），并在欧拉、拉格朗日等人的工作中系统化。

相关词 Related Words

• Functional
• Optimization
• Variational Principle
• Euler-Lagrange Equation
• Lagrangian
• Brachistochrone
• Constraint
• Integral

文学与经典著作 Literary Works

• 欧拉（Euler）Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes（1744）：早期系统奠基性著作，集中讨论极值曲线问题。
• 拉格朗日（Lagrange）Mécanique analytique（1788）：以变分思想统一力学表述，推动变分法在物理中的核心地位。
• 柯朗与希尔伯特（Courant & Hilbert）Methods of Mathematical Physics（20世纪）：用变分方法处理偏微分方程与物理问题。
• 盖尔范德与福明（Gelfand & Fomin）Calculus of Variations：现代经典教材，系统讲解欧拉—拉格朗日方程与常见变分技巧。